Question

已知函數(shù)．
（1）當時，求f（x）在x=0處的切線方程；
（2）當a＞1時，判斷方程f（x）=0實根的個數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數(shù)在x=1處的導數(shù)，得到切線的斜率，然后根據(jù)切點和斜率可求出切線方程；
（2）先求定義域，然后討論x的范圍，可直接判定f（x）在區(qū)間（a，+∞）上的實數(shù)根的個數(shù)，在（-∞，a）上可利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，可判定實數(shù)根的個數(shù)．
解答：解：（1），，．
當時，f'（0）=-3．又f（0）=-1．                           …．．（2分）
所以f（x）在x=0處的切線方程為y=-3x-1．                     …．．（4分）
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，a）∪（a，+∞）．
當x∈（a，+∞）時，，所以．
即f（x）在區(qū)間（a，+∞）上沒有實數(shù)根．                            …．．（6分）
當x∈（-∞，a）時，，
令g（x）=e^x（x-a）+1．                                          …（8分）
只要討論g（x）=0根的個數(shù)即可．g'（x）=e^x（x-a+1），g'（a-1）=0．
當x∈（-∞，a-1）時，g'（x）＜0，g（x）是減函數(shù)；
當x∈（a-1，a）時，g'（x）＞0，g（x）是增函數(shù)．
所以g（x）在區(qū)間（-∞，a）上的最小值為g（a-1）=1-e^a-1．                   …．．（10分）
∵a＞1時，g（a-1）=1-e^a-1＜0，即f（x）有兩個實根．               …．．（12分）
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及根的個數(shù)判斷，同時考查了轉化的思想，屬于中檔題．