Question

已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，記A（n）=a₁+a₂+…+a_n，B（n）=a₂+a₃+…+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+…+a_n+2，n=1，2，…．
（1）若a₁=1，a₂=5，且對任意n∈N^*，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）證明：數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意n∈N^*，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列．

Answer 1

解：（1）∵對任意n∈N^*，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，
∴B（n）-A（n）=C（n）-B（n），
即a_n+1-a₁=a_n+2-a₂，亦即a_n+2-a_n+1=a₂-a₁=4．
故數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，于是a_n=1+（n-1）×4=4n-3．
（2）證明：（必要性）：若數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，對任意n∈N^*，有a_n+1=a_nq．由a_n＞0知，A（n），B（n），C（n）均大于0，于是
===q，
===q，
即==q，
∴三個數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列；
（充分性）：若對任意n∈N^*，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列，則
B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），
于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，即a_n+2-a₂=q（a_n+1-a₁），亦即a_n+2-qa_n+1=a₂-qa₁．
由n=1時，B（1）=qA（1），即a₂=qa₁，從而a_n+2-qa_n+1=0．
∵a_n＞0，
∴==q．故數(shù)列{a_n}是首項為a₁，公比為q的等比數(shù)列．
綜上所述，數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意n∈N^*，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列．
分析：（1）由于對任意n∈N^*，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，可得到B（n）-A（n）=C（n）-B（n），即a_n+1-a₁=a_n+2-a₂，整理即可得數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，從而可得a_n．
（2）必要性：由數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，可證得即==q，即必要性成立；
充分性：若對任意n∈N^*，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列，可得a_n+2-qa_n+1=a₂-qa₁．由n=1時，B（1）=qA（1），即a₂=qa₁，從而a_n+2-qa_n+1=0，即充分性成立，于是結(jié)論得證．
點評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查充要條件的證明，考查等比關系的確定，突出化歸思想，邏輯思維與綜合運算能力的考查，屬于難題．