Question

設(shè)直線是曲線的一條切線，.

（1）求切點(diǎn)坐標(biāo)及的值；

（2）當(dāng)時(shí)，存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）切點(diǎn)，或者切點(diǎn)，；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先設(shè)切點(diǎn)，然后依題意計(jì)算出，由，計(jì)算出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入切線的方程，可得切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最后再將切點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線C的方程計(jì)算得的值；（2）結(jié)合（1）中求出的，確定，設(shè)，然后將存在使成立問題，轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，分、、三種情況討論函數(shù)在上的單調(diào)性，確定，相應(yīng)求解不等式，即可確定的取值范圍.

試題解析：（1）設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)

∴,解得或

代入直線方程，得切點(diǎn)坐標(biāo)為或

切點(diǎn)在曲線上，∴或

綜上可知，切點(diǎn)，或者切點(diǎn)， 5分

（2）∵，∴，設(shè)，若存在使成立，則只要 7分

①當(dāng)即時(shí)

，是增函數(shù)，不合題意 8分

②若即

令，得，∴在上是增函數(shù)

令，解得，∴在上是減函數(shù)

，,解得 10分

③若即，

令，解得

，∴在上是增函數(shù)

∴，不等式無解，∴不存在 12分

綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為 13分.

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)；3.分類討論的思想.