Question

將數(shù)列{a_n}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表：a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉a₁₀…記表中的第一列數(shù)a₁，a₂，a₄，a₇，…構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，b₁=a₁=1．S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，且滿(mǎn)足．
（Ⅰ）證明數(shù)列成等差數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）上表中，若從第三行起，第一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù)．當(dāng)時(shí)，求上表中第k（k≥3）行所有項(xiàng)的和．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意所給的已知等式特點(diǎn)應(yīng)考慮應(yīng)用已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求其通項(xiàng)這一公式來(lái)尋求出路，得到Sn與SS_n-1之間的遞推關(guān)系，先求出S_n的通項(xiàng)公式即可得證，接下來(lái)求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由題意第一列數(shù)a₁，a₂，a₄，a₇，…構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，b₁=a₁=1，又已知{b_n}的通項(xiàng)公式和a₈₁的值，應(yīng)該現(xiàn)有規(guī)律判斷這一向位于圖示中的具體位置，有從第三行起，第一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù)進(jìn)而求解．
解答：解：（Ⅰ）證明：由已知，當(dāng)n≥2時(shí)，，又S_n=b₁+b₂++b_n，
所以，
又S₁=b₁=a₁=1．所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列．
由上可知，．
所以當(dāng)n≥2時(shí)，．
因此
（Ⅱ）設(shè)上表中從第三行起，每行的公比都為q，且q＞0．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213640879053354/SYS201310232136408790533018_DA/10.png">，
所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列{a_n}的前78項(xiàng)，故a₈₁在表中第13行第三列，
因此．又，所以q=2．
記表中第k（k≥3）行所有項(xiàng)的和為S，
則．
點(diǎn)評(píng)：（1）此問(wèn)重點(diǎn)考查了數(shù)列中的已知前n項(xiàng)的和求解通項(xiàng)這一公式，還考查了等差數(shù)的定義；
（2）此問(wèn)重點(diǎn)考查了由題意及圖形準(zhǔn)確找規(guī)律，還考查了等比數(shù)列的通向公式及有數(shù)列通向求其所有項(xiàng)和，同時(shí)還考查了方程的思想．