Question

已知y=f（x）是定義域?yàn)?img class='latex' alt='數(shù)學(xué)公式' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3008.png' />的可導(dǎo)函數(shù)，f（1）=f（3）=1，f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x），且時(shí)，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，則不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   1

Answer 1

D
分析：此題關(guān)鍵是找出可行域，已知y=f（x）是定義域?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3008.png' />的可導(dǎo)函數(shù)，f（1）=f（3）=1，f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x），且時(shí)，f′（x）＜0；x∈（2，+∞），說明f（x）在x=2處取得極小值，若f（2x+y）≤1，可得1≤2x+y≤3，畫出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解；
解答：∵y=f（x）是定義域?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3008.png' />的可導(dǎo)函數(shù)，f（1）=f（3）=1，f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x），且時(shí)，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
說明f（x）在（，2）為減函數(shù)，在（2，+∞）為增函數(shù)，在x=2取得極小值，
因?yàn)閒（1）=f（3）=1，要使f（2x+y）≤1，可得1≤2x+y≤3①，
結(jié)合-2≤x-2y≤②畫出滿足條件①②的可行域可得：

可知直線x-2y+2=0與2x+y=1、2x+y=3垂直，
所表示的平面區(qū)域是一個(gè)長(zhǎng)方形，邊長(zhǎng)等于點(diǎn)（0，1）到直線2x+y=3的距離：d=，
另一條邊等于：=
所以面積S=×=1，
故選D；
點(diǎn)評(píng)：此題是一道線性規(guī)劃問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，找出可行域，是解決此題的關(guān)鍵，此題是一道好題！