Question

已知函數(shù)

（1）求函數(shù)的最大值；

（2）若，求的取值范圍.

（3）證明： +（n）

 

Answer 1

（1）0；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求，再利用判斷函數(shù)的單調(diào)性并求最值；

（2）思路一：由，分，，三種情況研究函數(shù)的單調(diào)性，判斷與的關(guān)系，確定的取值范圍.

思路二：由，因為，所以

令，，顯然，知為單調(diào)遞減函數(shù)，

結(jié)合在上恒成立，可知在恒成立，轉(zhuǎn)化為，從而求得的取值范圍.

（3）在中令，得時，．將代入上述不等式，再將得到的個不等式相加可得結(jié)論.

解證：（1）， 1分

當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減； 3分

故. 4分

（2）解法一：， 5分

當(dāng)時，因為時，所以時，； 6分

當(dāng)時，令，．

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，且，

故在內(nèi)存在唯一的零點，使得對于有，

也即．所以，當(dāng)時； 8分

當(dāng)時，時，所以，當(dāng)時 9分

綜上，知的取值范圍是. 10分

解法二： ， 5分

令，．

當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減. 6分

若在內(nèi)存在使的區(qū)間，

則在上是增函數(shù)，，與已知不符. 8分

故，，此時在上是減函數(shù)，成立．

由，恒成立，而，

則需的最大值，即，，

所以的取值范圍是. 10分

（3）在（2）中令，得時，. 11分

將代入上述不等式，再將得到的個不等式相加，得. 14分

考點：1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；2、函數(shù)思想解決不等式問題；3、分類討論的思想