已知等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項和為Sn,是否存在常數(shù)c,使數(shù)列{Sn+c}也成等比數(shù)列?若存在,求出c的值;若不存在,說明理由.

答案:
解析:

q≠1時,存在c=

設(shè)存在常數(shù)c,使數(shù)列{Sn+c}也成等比數(shù)列

則(Sn+c)(Sn+2+c)=(Sn+1+c)2

∴SnSn+2=c(2Sn+1-Sn-Sn+2)①

(1)當(dāng)q=1時,Sn=na1,Sn+1=(n+1)a1,Sn+2=(n+2)a1,代入①得
a12n(n+2)-a12(n+1)2=ca1[2(n+1)-n-(n+2)]

推得a1=0,這與等比數(shù)列中an≠0矛盾.

故q=1時,不存在

(2)當(dāng)q≠1時,Sn,代入①得

化簡得-a12qn=ca1qn(1-q)

∴c=

∴q≠1時,存在c=使數(shù)列{Sn+c}也成等比數(shù)列.


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12
,則n=
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