已知圓C1x2+y2-2x-4y+4=0
(Ⅰ)若直線l:x+2y-4=0與圓C1相交于A,B兩點.求弦AB的長;
(Ⅱ)若圓C2經(jīng)過E(1,-3),F(xiàn)(0,4),且圓C2與圓C1的公共弦平行于直線2x+y+1=0,求圓C2的方程.
(Ⅲ)求證:不論實數(shù)λ取何實數(shù)時,直線l1:2λx-2y+3-λ=0與圓C1恒交于兩點,并求出交點弦長最短時直線l1的方程.
分析:(Ⅰ)通過圓心到直線的距離,半徑,半弦長滿足勾股定理,求出弦AB的長;
(Ⅱ)法一:設(shè)出圓C2的方程,利用直線的平行的充要條件,以及圓經(jīng)過的兩個點得到方程組求法即可.
法二:設(shè)出圓心坐標,利用圓經(jīng)過的兩個點距離相等,圓心的連線與弦長所在在垂直,列出方程組即可求出圓的方程.
(Ⅲ)求出直線l1:2λx-2y+3-λ=0恒過的定點在圓C1內(nèi),判斷弦長最短時直線l1的斜率,然后求出方程.
解答:解:(Ⅰ)圓C1x2+y2-2x-4y+4=0化為(x-1)2+(y-2)2=9,圓心坐標(1,2),半徑為:r=3.
圓心到直線l的距離 d=
|1+4-4|
1+22
=
5
5
,-------------------(2分),
圓心到直線的距離d,半徑r,半弦長滿足勾股定理,
所以|AB|=2
1-
1
5
=
4
5
5
.-----------------------------(4分)
(Ⅱ)解法一:設(shè)圓C2的一般方程為:x2+y2+Dx+Ey+F=0,
則公共弦所在的直線方程為:(D+2)x+(E+2)y+F=0,
所以
D+2
2
=
E+4
1
,即D=2E+6---------------------------------(6分)
又因為圓C2經(jīng)過E(1,-3),F(xiàn)(0,4),
所以
1+9+D-3E+F=0
16+4E+F=0
D=2E+6
D=6
E=0
F=-16.
---(8分)
所以圓C2的方程為x2+y2+6x-16=0.---------------------------(10分)
解法二:設(shè)圓C2的圓心C2的坐標為(a,b),
則有
(a-1)2+(b+3)2
=
(a-0)2+(b-4)2
b-2
a-1
•(-2)=-1
-------------------(6分)
解得
a=-3
b=0
---------------------(8分)
設(shè)圓C2的半徑r2=
(-3-1)2+(0+3)2
=5

所以圓C2的方程為(x+3)2+y2=25---------------------(10分)
(Ⅲ)將直線l1:2λx-2y+3-λ=0方程整理為:
λ(2x-1)-(2y-3)=0對于λ∈R恒成立,
所以
2x-1=0
2y-3=0
,即直線l1恒過定點P(
1
2
,
3
2
)
,------------------(12分)
由圓心C1(1,2),半徑為1.
PC1=
(
1
2
-1)
2
+(
3
2
-2)
2
=
2
2
<1
P(
1
2
,
3
2
)
恒在圓C1內(nèi),
所以不論實數(shù)λ取何實數(shù)時,直線l1:2λx-2y+3-λ=0與圓C1恒交于兩點-----(14分)
直線l1與圓C1恒交點弦長最短時,l1⊥PC1kPC1=1,直線l1的斜率為k1=-1
所以直線l1的方程為x+y-2=0,即為所求.----------------(16分)
點評:本題考查圓的方程的求法圓與圓的位置關(guān)系,直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查計算能力.
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(2013•惠州二模)已知圓C1:x2+y2=2和圓C2,直線l與C1切于點M(1,1),圓C2的圓心在射線2x-y=0(x≥0)上,且C2經(jīng)過坐標原點,如C2被l截得弦長為4
3

(1)求直線l的方程;
(2)求圓C2的方程.

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已知圓C1x2+y2=2,直線l與圓C1相切于點A(1,1);圓C2的圓心在直線x+y=0上,且圓C2過坐標原點.
(1)求直線l的方程;
(2)若圓C2被直線l截得的弦長為8,求圓C2的方程.

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已知圓C1x2+y2=10與圓C2x2+y2+2x+2y-14=0
(1)求證:圓C1與圓C2相交;
(2)求兩圓公共弦所在直線的方程;
(3)求經(jīng)過兩圓交點,且圓心在直線x+y-6=0上的圓的方程.

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2
?薦存在,求出點P的坐標;若不存在,試說明理由.

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(2013•寧波模擬)如圖,已知圓C1x2+(y-1)2=4和拋物線C2:y=x2-1,過坐標原點O的直線與C2相交于點A、B,定點M坐標為(0,-1),直線MA,MB分別與C1相交于點D、E.
(1)求證:MA⊥MB.
(2)記△MAB,△MDE的面積分別為S1、S2,若
S1S2
,求λ的取值范圍.

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