已知f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，而且f（x）＞0，f（3）=1．判斷g(x)=f(x)+
1f(x)
在（0，3）上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并加以證明．
分析：在（0，3）上任取2個(gè)值x1＜x2，化簡g（x1）-g（x2）的式子，利用 0＜f（x1）＜f（x2）≤f（3）=1，判斷g（x1）-g（x2）＞0，從而證明函數(shù)g(x)=f(x)+
1
f(x)
在（0，3）上是減函數(shù)．
解答：解：函數(shù)g（x）在（0，3）上是減函數(shù)．
證明如下：任取0＜x1＜x2≤3，
則g(x1)-g(x2)=[f(x1)+
1
f(x1)
]-[f(x2)+
1
f(x2)
]=[f(x1)-f(x2)][1-
1
f(x1)f(x2)
]．
∵f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，∴f（x1）-f（x2）＜0．又f（x）＞0，f（3）=1，
∴0＜f（x1）＜f（x2）≤f（3）=1，
∴0＜f（x1）•f（x2）＜1，
1
f(x1)f(x2)
＞1，1-
1
f(x1)f(x2)
＜0．
∴g（x1）-g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2）
由此可知，函數(shù)g(x)=f(x)+
1
f(x)
在（0，3）上是減函數(shù)．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明方法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
3
cos2ωx+sinωxcosωx+a(ω＞0，a∈R)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
π
2
．
（1）求ω值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）已知f（x）在區(qū)間[0，
π
2
]上的最小值為1，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
x2+1
，令g(x)=f(
1
x
)．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）任取定義域內(nèi)的5個(gè)自變量，根據(jù)要求計(jì)算并填表；觀察表中數(shù)據(jù)間的關(guān)系，猜想一個(gè)等式并給予證明；
x …
f(x)-
1
2
 …
g(x)-
1
2
 …
（3）如圖，已知f（x）在區(qū)間[0，+∞）的圖象，請據(jù)此在該坐標(biāo)系中補(bǔ)全函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的圖象，并在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)g（x）的圖象．請說明你的作圖依據(jù)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
x2+1
，令g(x)=f(
1
x
)．
（1）如圖，已知f（x）在區(qū)間[0，+∞）的圖象，請據(jù)此在該坐標(biāo)系中補(bǔ)全函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的圖象，并在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)g（x）的圖象．請說明你的作圖依據(jù)；
（2）求證：f（x）+g（x）=1（x≠0）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•渭南二模）已知f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，f（x+2）是偶函數(shù)，那么正確的是（　�。�

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（2012•閘北區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，又已知f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（1）=0，則不等式
f(-x)+f(x)
x
＜0的解集為（　　）

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