設(shè)函數(shù)f(x)=x2-aln(2x+1)(x∈(-
12
,1),a>0)

(1)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù),求a的取值范圍;
(2)函數(shù)f(x)是否有最小值?若有最小值,指出其取得最小值時(shí)x的值,并證明你的結(jié)論.
分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由于函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù),故導(dǎo)數(shù)小于等于0恒成立,由此不等式即可求出參數(shù)a的范圍;
(2)在函數(shù)的定義域上研究其單調(diào)性,判斷最值是否存在即可,可以先研究函數(shù)的極值,再比較極值與定義域區(qū)間點(diǎn)的大小,看最小值是否存在.
解答:解:(1)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=2x-
2a
2x+1
=
2(2x2+x-a)
2x+1

∵函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)
∴f'(x)≤0在x∈(-
1
2
,1)
上恒成立
又∵x∈(-
1
2
,1)
時(shí),2x+1>0
∴不等式2x2+x-a≤0在x∈(-
1
2
,1)
上恒成立,即a≥2x2+x在x∈(-
1
2
,1)
上恒成立
令g(x)=2x2+x,x∈(-
1
2
,1)
,則g(x)max=g(1)=3∴a≥3
(2)∵f'(x)=
2(2x2+x-a)
2x+1
,令f'(x)=0
解得x1=
-1-
1+8a
4
x2=
-1+
1+8a
4

由于a>0,-
1
2
-x1=
1+8a
-1
4
>0
,x2-(-
1
2
) =
1+8a
+1
4
>0

x1<-
1
2
x2
,
①當(dāng)x2=
-1+
1+8a
4
<1
即0<a<3時(shí),在(-
1
2
,x2)
上f′(x)<0;在(x2,1)上f′(x)>0,
∴當(dāng)x=
-1+
1+8a
4
時(shí),函數(shù)f(x)在(-
1
2
,1)
上取最小值.
②當(dāng)x2=
-1+
1+8a
4
即a≥3時(shí),在[-
1
2
,1
]上f′(x)≤0,
∴當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)在[-
1
2
,1
]上取最小值.
由①②可知,當(dāng)0<a<3時(shí),函數(shù)f(x)在x=
-1+
1+8a
4
時(shí)取最小值;
當(dāng)a≥3時(shí),函數(shù)f(x)在x=1時(shí)取最小值.(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義,綜合考查了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以及依據(jù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最值的規(guī)則步驟,綜合性較強(qiáng),知識(shí)性較強(qiáng).用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是一很好的方法,做題時(shí)要注意靈活選用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

當(dāng)p1,p2,…,pn均為正數(shù)時(shí),稱
n
p1+p2+…+pn
為p1,p2,…,pn的“均倒數(shù)”.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且其前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為
1
2n+1

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=
an
2n+1
(n∈N*),試比較cn+1與cn的大。
(3)設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+4x-
an
2n+1
,是否存在最大的實(shí)數(shù)λ,使當(dāng)x≤λ時(shí),對(duì)于一切正整數(shù)n,都有f(x)≤0恒成立?

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設(shè)函數(shù)f(x)=
x2+bx+c,(x<0)
-x+3,(x≥0)
,且f(-4)=f(0),f(-2)=-1.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式; 
(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象,并指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(3)若方程f(x)=k有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,求k的值.

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已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別是a,b,c,設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bx-
1
4
為偶函數(shù),且f(cos
B
2
)=0

(1)求角B的大;
(2)若△ABC的面積為
3
4
,其外接圓的半徑為
2
3
3
,求△ABC的周長(zhǎng).

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設(shè)函數(shù)f(x)=
x2+bx+c,-4≤x<0
-x+3,0≤x≤4
,且f(-4)=f(0),f(-2)=-1.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象,并寫出函數(shù)f(x)的定義域、值域.

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設(shè)函數(shù)f(x)=
x2-x+n
x2+x+1
(x∈R,x≠
n-1
2
,x∈N*)
,f(x)的最小值為an,最大值為bn,記cn=(1-an)(1-bn
則數(shù)列{cn}是
常數(shù)
常數(shù)
數(shù)列.(填等比、等差、常數(shù)或其他沒(méi)有規(guī)律)

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