Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率e=，左、右焦點分別為F₁、F₂，點P（2，），點F₂在線段PF₁的中垂線上，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點，直線F₂M與F₂N的傾斜角分別為α，β，且α+β=π，試問直線l是否過定點？若過，求該定點的坐標。

Answer 1

解：（1）由橢圓C的離心率e=，
橢圓C的左、右焦點分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），
又點F₂在線段PF₁的中垂線上，
∴|F₁F₂|=|PF₂|，
∴（2c）²=（）²+（2-c）²，解得c=1，
∴a²=2，b²=1，
∴橢圓的方程為+y²=1；
2）由題意，直線MN的方程為y=kx+m，
由消去y得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則，
且，，
由已知α+β=π得，
即，
化簡，得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，
∴2k·，解得m=-2k，
∴直線MN的方程為y=k（x-2），
因此直線MN過定點，該定點的坐標為（2，0）。