Question

在△ABC中，點(diǎn)B（0，1），直線AD：2x-y-4=0是角A的平分線．直線CE：x-2y-6=0是AB邊的中線．
（1）求邊AC的直線方程；
（2）圓M：x²+（y+1）²=r²（1≤r≤3），自點(diǎn)C向圓M引切線CF，CG，切點(diǎn)為F、G．求：的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)AB中點(diǎn)坐標(biāo)為D（x，y），∵點(diǎn)B（0，1），則A點(diǎn)坐標(biāo)為（2x，2y-1），把D（x，y）代入直線CE方程，把A點(diǎn)坐標(biāo)（2x，2y-1）代入角A的平分線方程，求出x，y
的值，可得A點(diǎn)坐標(biāo)．再由B點(diǎn)關(guān)于2x-y-4=0的對(duì)稱點(diǎn)（4，-1）在直線AC上，由兩點(diǎn)式求直線AC的方程．
（2）把CE和AC的方程聯(lián)立方程組求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求出=，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值和最小值，
從而得到 的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），∵點(diǎn)B（0，1），則A點(diǎn)坐標(biāo)為（2x，2y-1）．
依題意得，解之得：，∴A（-2，-8），
由于B點(diǎn)關(guān)于2x-y-4=0的對(duì)稱點(diǎn)（4，-1）在直線AC上．∴直線AC的方程為 ，即 7x-6y-34=0．
（2）由   解得，即C（4，-1），又 圓心M（0，-1），
∴==（16-r²）cos2∠CFM=（16-r²）（1-2sin²∠GCM）=，
∵1≤r≤3，∴1≤r²≤9，由單調(diào)性得 =，=．
∴的取值范圍為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，用兩點(diǎn)式求直線方程，圓的切線性質(zhì)，以及在閉區(qū)間上求二次函數(shù)的最值，屬于中檔題．