Question

已知以T=4為周期的函數(shù)f(x)=

m 1-x2 ，x∈(-1，1] 1-|x-2|，x∈(1，3]

，其中m＞0．若方程4f（x）=x恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍為（　　）

• A．(

  15

  3

  ，

  8

  3

  )
• B．(

  4

  3

  ，

  8

  3

  )
• C．(

  15

  4

  ，

  63

  4

  )
• D．(

  4

  3

  ，

  7

  )

Answer 1

分析：根據(jù)對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行變形后發(fā)現(xiàn)當(dāng)x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上時(shí)，f（x）的圖象為半個(gè)橢圓．根據(jù)圖象推斷要使方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則需直線y=

x

4

與第二個(gè)橢圓相交，而與第三個(gè)橢圓不公共點(diǎn)．把直線分別代入橢圓方程，根據(jù)△可求得m的范圍．

解答：解：：∵當(dāng)x∈（-1，1]時(shí)，將函數(shù)化為方程x²+

y2

m2

=1（y≥0），此時(shí)，函數(shù)的圖象實(shí)質(zhì)上為一個(gè)半橢圓，其圖象如圖所示：
同時(shí)在坐標(biāo)系中作出當(dāng)x∈（1，3]時(shí)的函數(shù)圖象，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其它部分的圖象．
由圖易知直線 y=

x

4

與第二個(gè)半橢圓（x-4）²+

y2

m2

=1（y≥0）相交，而與第三個(gè)半橢圓（x-8）²+

y2

m2

=1 （y≥0）
無公共點(diǎn)時(shí)，方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，
將 y=

x

4

代入（x-4）²+

y2

m2

=1 （y≥0）得，（16m²+1）x²-128m²x+240m²=0，令t=16m²（t＞0），
則（t+1）x²-8tx+15t=0，由△=（8t）²-4×15t（1+t）＞0，得 t＞15．
由 16m² ＞15，且m＞0得 m＞

15

4

．
再將 y=

x

4

代入（x-8）²+

y2

m2

=1 化簡(jiǎn)，再由判別式△′＜0可得m＜

63

4

．
綜上可得

15

4

＜m＜

63

4

，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，及函數(shù)的周期性，其中根據(jù)方程根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)解析式進(jìn)行分析，是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．