若函數(shù)f（x）對(duì)任意自然數(shù)x，y均滿(mǎn)足：f（x+y2）=f（x）+2[f（y）]2，且f（1）≠0則f（2010）=
 
．
分析：利用特值，求出f（0），f（1）的值，令y=1，確定出f（x+1）與f（x）的關(guān)系，然后利用遞推關(guān)系求出結(jié)果．
解答：解：y=0時(shí) f（x）=f（x）+2f2（0）
解得f（0）=0
x=0，y=1時(shí)
f（1）=f（0）+2f2（1）=2f2（1）
因f（1）≠0
所以f（1）=
1
2
y=1時(shí)  f（x+1）=f（x）+2f2（1）=f（x）+2（
1
2
）2
所以f（x+1）=f（x）+
1
2
故f（2010）=f（2009+1）=f（2009）+
1
2
=f（2008）+
1
2
+
1
2
=f（2008）+（
1
2
）×2
=…=f（1）+（
1
2
）×2009
=
1
2
+（
1
2
）×2009
=
1
2
×2010
=1005
故答案為：1005．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，賦值法及遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．注意項(xiàng)數(shù)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

4、若函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x）＜f（x+1），那么（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1，x2∈D，均有|f（x2-f（x1））|≤|x2-x1|，則稱(chēng)函數(shù)f（x）是區(qū)間D上的“平緩函數(shù)”．下列函數(shù)是實(shí)數(shù)集R上的“平緩函數(shù)”的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1，x2∈D，均有|f（x2）-f（x1）|≤|x2-x1|，則稱(chēng)函數(shù)f（x）是區(qū)間D上的“平緩函數(shù)”，
（1）判斷g（x）=sinx和h（x）=x2-x是不是實(shí)數(shù)集R上的“平緩函數(shù)”，并說(shuō)明理由；
（2）若數(shù)列{xn}對(duì)所有的正整數(shù)n都有 |xn+1-xn|≤
1
(2n+1)2
，設(shè)yn=sinxn，求證：|yn+1-y1|＜
1
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

等比數(shù)列{an}中，a1，a2，a3分別是表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在表的同一列．
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若函數(shù)f（x）對(duì)任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)，設(shè)cn=anbn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．

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