Question

11．已知直線l與圓C：x²+y²+2x-4y+a=0相交于A，B兩點，弦AB的中點為M（0，1）．
（1）求實數(shù)a的取值范圍以及直線l的方程；
（2）若以$\overrightarrow{AB}$為直徑的圓過原點O，求圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）利用直線l與圓C：x²+y²+2x-4y+a=0相交于A，B兩點，根據(jù)直線，點與圓的位置關系即可求出a的取值范圍．
（2）由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}+2x-4y+a=0}\\{y=x+1}\end{array}}\right.$得2x²+a-3=0，求出A，B的坐標，利用$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-\frac{3-a}{2}+1-\frac{3-a}{2}=a-2=0$，即可求圓C的方程．

解答 解：（1）因為2²+4²-4a＞0，所以a＜5．
因為M（0，1）在圓C內，所以1²-4+a＜0，所以a＜3．
綜上知a＜3…（3分）
因為弦AB的中點為M（0，1），所以直線l⊥CM．
因為k_CM=-1，所以k_l=1．
所以直線l的方程為y=x+1…（7分）
（2）由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}+2x-4y+a=0}\\{y=x+1}\end{array}}\right.$得2x²+a-3=0，故${x_1}=\sqrt{\frac{3-a}{2}}$，x₂=-$\sqrt{\frac{3-a}{2}}$．
不妨設A（$\sqrt{\frac{3-a}{2}}$，$\sqrt{\frac{3-a}{2}}$+1），B（-$\sqrt{\frac{3-a}{2}}$，-$\sqrt{\frac{3-a}{2}}$+1）…（10分）
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-\frac{3-a}{2}+1-\frac{3-a}{2}=a-2=0$，故a=2…（13分）
故圓C：x²+y²+2x-4y+2=0…（14分）

點評 本題主要考查直線和圓的方程的應用，考查直線與圓的位置關系，考查向量知識的運用，屬于中檔題．