Question

已知函數(shù)y=f（x），若存在x₀，使得f（x₀）=x₀，則稱x₀是函數(shù)y=f（x）的一個不動點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+（b+1）x+b-2
（Ⅰ）當(dāng)a=2，b=1時，求函數(shù)f（x）的不動點(diǎn)；
（Ⅱ）若對于任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個不同的不動點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若函數(shù)y=f（x）的圖象上A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f（x）的不動點(diǎn)，且直線y=kx+

1

a2+1

是線段AB的垂直平分線，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=2，b=1代入方程f（x）=x，解出x即可；
（Ⅱ）方程f（x）=x恒有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，即方程ax²+（b+1）x+b-2=x恒有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則 △x=b2-4a(b-2)＞0對任意b恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得a的不等式；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)f（x）的兩個不同的不動點(diǎn)為x₁，x₂，則A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），且x₁，x₂是ax²+bx+b-2=0的兩個不等實(shí)根，則x1+x2=-

b

a

，由題意可得k=-1，且AB中點(diǎn)（-

b

2a

，-

b

2a

）在直線y=kx+

1

a2+1

上，代入可得a，b的關(guān)系式，分離出b后根據(jù)a的范圍可得b的范圍；

解答：解：（Ⅰ） 當(dāng)a=2，b=1時，f（x）=2x²+2x-1，解2x²+2x-1=x，
解得x=-1，x=

1

2

，
所以函數(shù)f（x）的不動點(diǎn)為x=-1，x=

1

2

；
（Ⅱ）因為對于任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個不同的不動點(diǎn)，
所以對于任意實(shí)數(shù)b，方程f（x）=x恒有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
即方程ax²+（b+1）x+b-2=x恒有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
所以 △x=b2-4a(b-2)＞0，即對于任意實(shí)數(shù)b，b²-4ab+8a＞0，
所以  △b=(-4a)2-4×8a＜0，
解得0＜a＜2；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)f（x）的兩個不同的不動點(diǎn)為x₁，x₂，則A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），
且x₁，x₂是ax²+bx+b-2=0的兩個不等實(shí)根，所以x1+x2=-

b

a

，
直線AB的斜率為1，線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(-

b

2a

，-

b

2a

)，
因為直線y=kx+

1

a2+1

是線段AB的垂直平分線，
所以k=-1，且（-

b

2a

，-

b

2a

）在直線y=kx+

1

a2+1

上，
則-

b

2a

=

b

2a

+

1

a2+1

，a∈（0，2），
所以b=-

a

a2+1

=-

1

a+ 1 a

≥-

1

2 a• 1 a

=-

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=1∈（0，2）時等號成立，
又b＜0，
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是[-

1

2

，0）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)恒成立問題、直線的垂直關(guān)系直線方程，考查轉(zhuǎn)化思想，本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解不動點(diǎn)的定義．