Question

已知函數(shù)f(x)=logm

1+x

1-x

(其中m＞0，m≠1)，
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）證明：函數(shù)f（x）具有性質(zhì)：f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；
（3）若f(

a+b

1+ab

)=1，f(

a-b

1-ab

)=2，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．

Answer 1

分析：（1）先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，看f（-x）與f（x）的關(guān)系，依據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷．
（2）先利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)等式的左邊，再化簡(jiǎn)等式的右邊，直到左邊和右邊是同一個(gè)表達(dá)式，即可證明等式成立．
（3）利用第（2）的結(jié)論和本題中2個(gè)已知條件，得到2個(gè)關(guān)于f（a）和f（b）的方程，解出f（a）和f（b）的值．

解答：解：（1）由題意知，

1+x

1-x

＞0，∴-1＜x＜1，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
f（-x）=

log

1-x 1+x m

=-

log

1+x 1-x m

=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)．
（2）∵f（x）+f（y）=

log

1+x 1-x m

+

log

1+y 1-y m

=

log	(1+x)(1+y) (1-x)(1-y) m

，
f（

x+y

1+xy

）=

log	1+ x+y 1+xy 1- x+y 1+xy m

=

log	1+xy+x+y 1+xy-x-y m

=

log	(1+x)(1+y) (1-x)(1-y) m

，
∴f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)．
（3）∵f(

a+b

1+ab

)=1，f(

a-b

1-ab

)=2，∴f（a）+f（b）=1，
f（a）-f（b）=3，∴f（a）=2，f（b）=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和求函數(shù)值．