Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²，（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù){b_n}是等比數(shù)列，公比為q（q＞0）且b₁=S₁，b₄=a₂+a₃，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n與S_n的關(guān)系進行求數(shù)列的通項公式．
（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)可求公比q，及首項b₁，即可利用等比數(shù)列的求和公式計算得解．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和${S_n}={n^2}，（n∈N*）$，
∴當(dāng)n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={n^2}-{（n-1）^2}=2n-1$，
又當(dāng)n=1時，a₁=S₁=3，滿足上式，a_n=2n-1（n∈N*）
（2）由（1）可知a₁=S₁=3，a₂=5，a₃=7，又b₂=S₁，b₄=a₂+a₃，
∴b₂=3，b₄=12．
又數(shù)列{b_n}是公比為正數(shù)等比數(shù)列，
∴${q^2}=\frac{b_4}{b_2}=4$，又q＞0，
∴q=2，
∴${b_1}=\frac{b_2}{q}=\frac{3}{2}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和${T_n}=\frac{{{b_1}（1-{q^n}）}}{1-q}=\frac{{\frac{3}{2}（1-{2^n}）}}{1-2}=\frac{3}{2}（{2^n}-1）$．

點評 本題主要考查數(shù)列的通項公式的求法，考查了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)與求和，要求熟練掌握a_n與S_n的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．