Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，短軸長度為4；
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)A，B為該橢圓上的兩個不同點，C（2，0），且∠ACB=90°，當△ABC的周長最大時，求直線AB的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用的離心率為

2

2

，短軸長度為4，建立方程組，求出幾何量，即可求橢圓的標準方程；
（2）確定周長的最大值為8

2

，當線段AB經(jīng)過左焦點C'（-2，0）時取等號．假設(shè)直線AB的方程式為：x=my-2與橢圓方程聯(lián)立，利用∠ACB=90°，可得

CA

•

CB

=0，結(jié)合韋達定理，即可求直線AB的方程．

解答： 解：（1）由已知可得：

c a = 2 2 2b=4 a2=b2+c2

，解出

a=2 2 b=2 c=2

所以橢圓的方程為：

x2

8

+

y2

4

=1
（2）易知C（2，0）恰好為橢圓的右焦點，設(shè)該橢圓的左焦點為C'（-2，0），
設(shè)△ABC的周長為l，則：l=AB+AC+BC≤(AC′+BC′)+AC+BC=(AC+AC′)+(BC+BC′)=4a=8

2

所以周長的最大值為8

2

，當線段AB經(jīng)過左焦點C'（-2，0）時取等號．
由于直線AB的斜率不能為0，否則A，B，C三點共線，與∠ACB=90°相矛盾．
所以可假設(shè)直線AB的方程式為：x=my-2
將該直線和橢圓聯(lián)立化簡得：（m²+2）y²-4my-4=0
假設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理知：y1+y2=

4m

m2+2

，y1y2=

-4

m2+2

由已知∠ACB=90°，所以：

CA

•

CB

=0即：（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=0
即：（x₁-2）•（x₂-2）+y₁y₂=0
即：（my₁-4）•（my₂-4）+y₁y₂=0
即：（m²+1）y₁y₂-4m（y₁+y₂）+16=0
將韋達定理代入上式得：(m2+1)•

-4

m2+2

-4m•

4m

m2+2

+16=0，解出：m=±

7

所以直線AB的方程為：x=±

7

y-2

點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的定義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．