Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，且滿(mǎn)足關(guān)系a_n-a_n-1=2（n≥2），
（1）寫(xiě)出a₂，a₃，a₄，的值，并猜想{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式．
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a₁=1，a_n-a_n-1=2（n≥2），可求得a₂，a₃，a₄的值，從而可猜想{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式．
（2）按照數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟：先證明n=1時(shí)命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)結(jié)論成立，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立，從而得出命題a_n=2n-1對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立．
解答：解：（1）∵a₁=1，a_n-a_n-1=2（n≥2），
∴a₂=2+a₁=3，同理可求得a₃=5，a₄=7，故可猜想得到a_n=2n-1．        …（4分）
（2）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立；          …（6分）
②設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，結(jié)論成立，即a_k=2k-1，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1-a_k=2，…（8分）
所以a_k+1=a_k+2=2k-1+2=2（k+1）-1，也滿(mǎn)足公式．  …（10分）
綜①②知，命題a_n=2n-1對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立．  …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，關(guān)鍵是證明n=k+1時(shí)，命題成立必須用上歸納假設(shè)，屬于中檔題．