Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x³-

3a

2

x+a²，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）在[-1，1]上的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，求|f（x）|在[-1，1]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)求得即可，由f′(x)=3x2-

3a

2

=3(x2-

a

2

)，分a≤0和0＜a＜2兩種情況討論得出單調(diào)區(qū)間； 
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)法求最大值，注意利用（Ⅰ）的結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=3x2-

3a

2

=3(x2-

a

2

)，…（2分）
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）≥0，f（x）在[-1，1]上遞增；          …（3分）
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）在[-1，-

a 2

)，(

a 2

，1]上遞增，在(-

a 2

，

a 2

)上遞減；
…（5分）
當(dāng)a≥2時(shí)，f'（x）≤0，f（x）在[-1，1]上遞減．            …（6分）
（Ⅱ） 當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）在[-1，-

a 2

)，(

a 2

，1]上遞增，在(-

a 2

，

a 2

)上遞減．
f(1)=1-

3

2

a+a2=(a-

3

4

)2+

7

16

＞0，f(-

a 2

)=a

a 2

+a2＞0，
f(-1)=-1+

3

2

a+a2=

1

2

(2a-1)(a+2)，f(

a 2

)=a2-a

a 2

=a

a

(

a

-

1 2

)．…（9分）
①0＜a＜

1

2

時(shí)，f（-1）＜0，f(

a 2

)＜0，|f(x)|max=max{-f(-1)，f(-

a 2

)，-f(

a 2

)，f(1)}．
而-f(-1)=1-

3

2

a-a2，f(-

a 2

)=a

a 2

+a2，
-f(

a 2

)=-a2+a

a 2

，f(1)=1-

3

2

a+a2．
顯然-f（-1）＜f（1），-f(

a 2

)＜f(-

a 2

)，
所以只需比較f(-

a 2

)與f（1）的大�。�f(-

a 2

)-f(1)=a

a 2

+

3

2

a-1．
∵g(a)=a

a 2

+

3

2

a-1在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而g(

1

2

)=0．
∴0＜a＜

1

2

時(shí)，f(-

a 2

)＜f(1)，|f(x)|max=f(1)=1-

3

2

a+a2． …（12分）
②

1

2

≤a＜2時(shí)，f（-1）≥0，f(

a 2

)≥0，|f(x)|max=max{f(-

a 2

)，f(1)}.f(-

a 2

)-f(1)=a

a 2

+

3

2

a-1≥0，
|f(x)|max=f(-

a 2

)=a

a 2

+a2…（15分）
綜上所述，|f(x)|max=

1- 3 2 a+a2，0＜a＜ 1 2 a a 2 +a2   ， 1 2 ≤a＜2

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值等綜合問(wèn)題的處理能力，邏輯性較強(qiáng)，屬難題，解題時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用．