Question

（本小題滿分14分）

已知數(shù)列的前項和為，且 N.

（1） 求數(shù)列的通項公式；

（2）若是三個互不相等的正整數(shù)，且成等差數(shù)列，試判斷

是否成等比數(shù)列？并說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）不是等比數(shù)列，假設成等比數(shù)列，則， 即，

化簡得：. （*） ∵，∴，這與（*）式矛盾，故假設不成立

【解析】

試題分析：(1) 解：，

∴ 當時，有  解得 .

由,              ①

得, ② 

② - ①得: .            ③ 

以下提供兩種方法：

法1：由③式得：，

即; 

，

∵，

∴數(shù)列是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列.                  

∴,即.

當時, ，

又也滿足上式,

∴.

法2：由③式得：，

得.                      ④ 

當時,,            ⑤ 

⑤-④得：.     

由，得，

∴. 

∴數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列.   ∴.

（2）解：∵成等差數(shù)列，

∴.

假設成等比數(shù)列，

則，

即，

化簡得：.       （*）

∵，

∴，這與（*）式矛盾，故假設不成立.……13分

∴不是等比數(shù)列.

考點：數(shù)列的通項公式、數(shù)列的前項和

點評：本題需要構造新數(shù)列，難度很大，求解中用到的關系式

第二問中的反證法的應用比綜合法分析法更簡單實用；本題還考查了合情推理、化歸與轉化、特殊與一般的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力