Question

已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1
（1）設(shè)集合P={-1，1，2，3，4，5}和Q={-2，-1，1，2，3，4，}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；
（2）設(shè)點(diǎn)（a，b）是區(qū)域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

分析：（1）分a=1，2，3，4，5 這五種情況來研究a＞0，且 

2b

a

≤1的取法共有16種，而所有的取法共有6×6=36 種，從而求得所求事件的概率．
（2）由條件可得，實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域Q 的面積等于S_△OMN=

1

2

×8×8=32，滿足條件的區(qū)域A的面積為
S_△POM=

1

2

×8×

8

3

=

32

3

，故所求的事件的概率為 P=

S△POM

S△OMN

，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（1）由題意可得a＞0，且 

2b

a

≤1，所有的取法共有6×6=36 種．
當(dāng)a=1 時(shí)，b 只能取-2，-1這兩個(gè)值．當(dāng)a=2 時(shí)，b 只能取-2，-1，1 這三個(gè)值．
當(dāng)a=3 時(shí)，b 只能取-2，-1，1 這三個(gè)值．當(dāng)a=4 時(shí)，b 只能取-2，-1，1，2 這四個(gè)值．
當(dāng)a=5 時(shí)，b 只能取-2，-1，1，2 這四個(gè)值．
故滿足函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)的取法有 2+3+3+4+4=16種，
故所求事件的概率為

16

36

=

4

9

，故答案為：

4

9

．
（2）由條件可得，實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镼={（a，b）|

a+b-8 ≤0 a ＞0 b ＞0

  }，如圖所示，
該區(qū)域?yàn)橐粋�(gè)三角形區(qū)域，其面積等于S_△OMN=

1

2

×8×8=32．
滿足函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)的基本事件構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锳={（a，b）|

a+b-8 ≤0 a ＞0 b ＞0 2b≤a

  }，
由

a+b-8 ≤0 b =  a 2

 求得交點(diǎn)的坐標(biāo)為P（

16

3

，

8

3

），故區(qū)域A的面積為 S_△POM=

1

2

×8×

8

3

=

32

3

，
故所求的事件的概率為 P=

S△POM

S△OMN

=

32 3

32

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率，二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及簡單的線性規(guī)劃問題，畫出實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域Q
和區(qū)域A 的圖形，是解題的關(guān)鍵．