在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，曲線C的參數(shù)方程為
x=2cosα
y=sinα
（α為參數(shù)），經(jīng)過變換
X=
1
2
x+1
Y=y
后曲線C變換為曲線C′
（1）以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線C′的極坐標(biāo)方程；
（2）求證：直線x-
2
y-2=0與曲線C'的交點在曲線C上．
分析：（1）把曲線C的參數(shù)方程代入變換式
X=
1
2
x+1
Y=y
，再消去參數(shù)α即可得到曲線C′；
（2）聯(lián)立直線與曲線C'的方程，解得交點，代入曲線C的方程看是否成立即可得出答案．
解答：解：（1）把曲線C的參數(shù)方程為
x=2cosα
y=sinα
（α為參數(shù)），代入經(jīng)過變換
X=
1
2
x+1
Y=y

后得
X=1+cosα
Y=sinα
，消去參數(shù)α得曲線C'：（X-1）2+Y2=1，
即曲線C′是以（1，0）為圓心，1為半徑的圓，故其極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
（2）聯(lián)立得
x-
2
y-2=0
(x-1)2+y2=1
，解得
x=2
y=0
或
x=
2
3
y=-
2
2
3
，即兩交點為(2，0)，(
2
3
，-
2
2
3
)．
由曲線C的參數(shù)方程
x=2cosα
y=sinα
（α為參數(shù)），消去參數(shù)α得
x2
4
+y2=1．
把兩交點為(2，0)，(
2
3
，-
2
2
3
)代入上述方程得：
x2
4
+0=1，
(
2
3
)2
4
+(-
2
2
3
)2=1，
可知該兩點均在曲線C上．
點評：正確理解變換和方程組的解與曲線的交點之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
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（2012•福建模擬）（1）選修4-2：矩陣與變換
已知向量
1
-1
在矩陣M=
1m
01
變換下得到的向量是
0
-1
．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲線y2-x+y=0在矩陣M-1對應(yīng)的線性變換作用下得到的曲線方程．
（2）選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點M的極坐標(biāo)為（4
2
，
π
4
），曲線C的參數(shù)方程為
x=1+
2
cosα
y=
2
sinα
（α為參數(shù)）．
（Ⅰ）求直線OM的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求點M到曲線C上的點的距離的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講
設(shè)實數(shù)a、b滿足2a+b=9．
（Ⅰ）若|9-b|+|a|＜3，求x的取值范圍；
（Ⅱ）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值．

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（2013•懷化二模）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，y軸右側(cè)的一動點P到點（
1
2
，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大
1
2
．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q為曲線C上的一個動點，點B，C在y軸上，若△QBC為圓（x-1）2+y2=1的外切三角形，求△QBC面積的最小值．

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（2）求證：直線與曲線C'的交點在曲線C上．

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