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已知函數，函數．

（1）時，求函數的表達式；

（2）若a > 0，函數在上的最小值是2，求a的值；

（3）在 (2) 的條件下，求直線與函數的圖象所圍成圖形的面積．

 

【答案】

 (1)當時，; 當時，

∴當時，; 當時，.

∴當時，函數  4分

(2) .(3) =。

 

【解析】本試題主要是考查了導數的運算，以及運用導數求解函數的最值，和定積分的幾何意義求解曲邊梯形的面積的綜合運用

（1）時，利用f(x)和f’(x)得到函數的表達式；

（2）因為a > 0，對于函數在上的最小值是2，分析單調性確定最值在那個點取得為關鍵，

（3）在 (2) 的條件下，求直線與函數的圖象所圍成圖形的面積，利用定積分的幾何意義得到。

解：(1) ∵，

∴當時，; 當時，

∴當時，; 當時，.

∴當時，函數  4分

(2) ∵由⑴知當時， ，

∴當時，當且僅當時取等號.

∴函數在上的最小值是 ，由已知

∴依題.

(3) 由解得

∴直線與函數的圖象所圍成圖形的面積

=    12分

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（1）求證：函數f（x）=x+
a
x
是奇函數；
（2）已知函數g（x）=x+
1
x
在區(qū)間（0，1）上是單調減函數，在區(qū)間（1，+∞）上是單調增函數；函數g（x）=x+
4
x
在區(qū)間（0，2）上是單調減函數，在區(qū)間（2，+∞）上是單調增函數；猜想出函數g（x）=x+
b2
x
，（b＞0），x∈（0，+∞）的單調區(qū)間；
（3）指出函數h（x）=x+
8
x
，x∈（-∞，0）在什么時候取最大值，最大值是多少．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=f（x）是定義在R上的周期函數，周期為5，函數y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數，又知y=f（x）在[0，1]上是一次函數，在[1，4]上是二次函數，且在x=2時函數取得最小值-5，
（1）求f（1）+f（4）的值；
（2）求y=f（x），x∈[1，4]上的解析式；
（3）求y=f（x）在[4，9]上的解析式，并求函數y=f（x）的最大值與最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2-2x，g（x）=x2-2x，x∈[2，4]
（1）求f（x），g（x）函數的值域；
（2）函數H（x）=f（x-c）+g（x+c）定義域為[8，10]，求c．
（3）函數H（x）=f（x-c）+g（x+c）（c≤0）的最大值為32，求c的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）的定義域為[-2，+∞），部分對應值如表格所示，f′（x）為f（x）．的導函數，函數y=f′（x）的圖象如右圖所示：
x -2 0 4
f（x） 1 -1 1
若兩正數a，b滿足f(a+2b)＜1，則
b-4
a+4
的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）的定義域為R，則下列命題中：?
①若f（x-2）是偶函數，則函數f（x）的圖象關于直線x=2對稱；?②若f（x+2）=-f（x-2），則函數f（x）的圖象關于原點對稱；?③函數y=f（2+x）與函數y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱；?④函數y=f（x-2）與函數y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱．?
其中正確的命題序號是
④
④
．?

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