Question

偶函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)可導(dǎo)，且f'（1）=-2，f（x+2）=f（x-2），則曲線y=f（x）在點(diǎn)（-5，f（-5））處切線的斜率為（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1

Answer 1

【答案】分析：由f（x）可導(dǎo)，對(duì)f（x+2）=f（x-2）兩邊求導(dǎo)，得到一個(gè)關(guān)系式，記作①，又根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，得到一個(gè)式子，對(duì)此式兩邊求導(dǎo)，得到另一個(gè)關(guān)系式，記作②，把x換為x+2代入①，令x=-1即可求出f′（-5）的值即為所求切線的斜率．
解答：解：由f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)可導(dǎo)，對(duì)f（x+2）=f（x-2）兩邊求導(dǎo)得：
f′（x+2）（x+2）′=f′（x-2）（x-2）′，即f′（x+2）=f′（x-2）①，
由f（x）為偶函數(shù)，得到f（-x）=f（x），
故f′（-x）（-x）′=f′（x），即f′（-x）=-f′（x）②，
則f′（x+2+2）=f′（x+2-2），即f′（x+4）=f′（x），
所以f′（-5）=f′（-1）=-f′（1）=2，即所求切線的斜率為2．
故選A
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，掌握偶函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．