【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣3x
(1)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣m在[﹣ ,3]上有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)h(x)=ex﹣ex+4n2﹣2n(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),如果對(duì)任意的x1 , x2∈[ ,2],都有f(x1)≤h(x2)恒成立,求實(shí)數(shù)n的取值范圍.
【答案】
(1)解:f(x)的定義域?yàn)镽,f′(x)=3x2﹣3=3(x+1)(x﹣1).
因?yàn)楫?dāng)x<﹣1或x>1時(shí),f′(x)>0;當(dāng)﹣1<x<1時(shí),f′(x)<0;
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣∞,﹣1)和(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(﹣1,1)
(2)解:要使函數(shù)g(x)=f(x)﹣m在[- ,3]上有三個(gè)零點(diǎn),就是要方程f(x)﹣m=0在[- ,3]上有三個(gè)實(shí)根,也就是只要函數(shù)y=f(x)和函數(shù)y=m的圖像在[﹣ ,3]上有三個(gè)不同的交點(diǎn).
由(1)知,f(x)在(﹣∞,﹣1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(﹣1,1)上單調(diào)遞減;
所以f(x)在x=﹣1處取得極大值f(﹣1)=2,在x=1處取得極小值f(1)=﹣2.
又f(- )= ,f(3)=18.
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為
(3)解:對(duì)任意的 ,都有f(x1)≤h(x2)恒成立,等價(jià)于當(dāng) 時(shí),f(x)max≤h(x)min成立.
由(1)知,f(x)在[ ,1]上單調(diào)遞減,在[1,2]上單調(diào)遞增,且 ,f(2)=2,所以f(x)在[ ,2]上的最大值f(x)max=2.
又h′(x)=ex﹣e,令h′(x)=0,得x=1.
因?yàn)楫?dāng)x<1時(shí),h′(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),h′(x)>0;所以h(x)在[ ,1]上單調(diào)遞減,在[1,2]上單調(diào)遞增;故h(x)在[ ,2]上的最小值h(x)min=h(1)=4n2﹣2n.
所以4n2﹣2n≥2,解得 或n≥1,故實(shí)數(shù)n的取值范圍是(﹣∞,﹣ ]∪[1,+∞)
【解析】(1)直接求導(dǎo)數(shù),然后解不等式可得原函數(shù)的增減區(qū)間;(2)利用數(shù)形結(jié)合,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y=m的交點(diǎn)問(wèn)題,只需利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=f(x)的極值、最值即可;(3)因?yàn)閔(x)與f(x)是兩個(gè)不同的函數(shù),所以該不等式恒成立只需f(x)max≤h(x)min即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.
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【題目】現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶.某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為 ,命中得1分,沒(méi)有命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為 ,每命中一次得2分,沒(méi)有命中得0分.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.假設(shè)該射手完成以上三次射擊. (Ⅰ)求該射手恰好命中一次得的概率;
(Ⅱ)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.
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(1)求a1 , a2 , a3;
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(3)設(shè)x>0,y>0,且x+y=1,證明: ≤ .
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【題目】如圖,已知橢圓C: ,點(diǎn)A,B分別是左、右頂點(diǎn),過(guò)右焦點(diǎn)F的直線MN(異于x軸)交于橢圓C于M、N兩點(diǎn).
(1)若橢圓C過(guò)點(diǎn),且右準(zhǔn)線方程為,求橢圓C的方程;
(2)若直線BN的斜率是直線AM斜率的2倍,求橢圓C的離心率.
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【題目】從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué),將他們的身高(單位:厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖由圖中數(shù)據(jù)可知身高在[120,130]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為( )
A.20
B.25
C.30
D.35
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【題目】已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率低于40%,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù):
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為( )
A.0.35
B.0.25
C.0.20
D.0.15
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(Ⅰ)判斷直線能否與曲線相切,并說(shuō)明理由;
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【題目】定義:若兩個(gè)二次曲線的離心率相等,則稱這兩個(gè)二次曲線相似.如圖,橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,右頂點(diǎn)為A,以其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)B1 , B2及其一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是邊長(zhǎng)為6的正三角形,M是C上異于B1 , B2的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),△MB1B2的重心為G,G點(diǎn)的軌跡記為C1 .
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