Question

若y=cos²x+2psinx+q有最大值9和最小值6，求實數(shù)p，q的值．

Answer 1

【答案】分析：先令sinx=t將y=cos²x+2psinx+q轉化為關于t且t∈[-1，1]的一元二次函數(shù)，然后求出其對稱軸，再對p的值進行討論從而可確定函數(shù)在[-1，1]上的單調性，進而根據其最值可求出p，q的值．
解答：解：令sinx=t，t∈[-1，1]，
y=1-sin²x+2psinx+q
y=-（sinx-p）²+p²+q+1=-（t-p）²+p²+q+1
∴y=-（t-p）²+p²+q+1，對稱軸為t=p
當p＜-1時，[-1，1]是函數(shù)y的遞減區(qū)間，
y_max=y|_t=-1=-2p+q=9，y_min=y|_t=1=2p+q=6，
得，與p＜-1矛盾；
當p＞1時，[-1，1]是函數(shù)y的遞增區(qū)間，
y_max=y|_t=1=2p+q=9，y_min=y|_t=-1=-2p+q=6，
得，與p＞1矛盾；
當-1≤p≤1時，y_max=y|_t=p=p²+q+1=9，
再當p≥0，y_min=y|_t=-1=-2p+q=6，得；
當p＜0，y_min=y|_t=1=2p+q=6，得
∴．
點評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系和一元二次函數(shù)的單調性以及最值的問題．考查考生的基礎知識的綜合運用能力．