Question

（1）如圖，對(duì)于任一給定的四面體，找出依次排列的四個(gè)相互平行的平面，使得，且其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離都相等；

（2）給定依次排列的四個(gè)相互平行的平面，其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離都為1，若一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)滿足，求該正四面體的體積.

Answer 1

【解析】

（1）如圖所示，取的三等分點(diǎn)，，的中點(diǎn)，

的中點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)，，作平面，過(guò)三點(diǎn)，，作平面，因?yàn)?sub>∥,∥,所以平面∥平面，再過(guò)點(diǎn)，分別作平面，與平面平行，那么四個(gè)平面，，，依次相互平行，由線段被平行平面，，，截得的線段相等知，期中每相鄰兩個(gè)平面間的距離相等，故，，，為所求平面.

（2）解法一：當(dāng)（1）中的四面體為正四面體，若所得的四個(gè)平行平面，每相鄰兩平面之間的距離為1，則正四面體就是滿足題意的正四面體.設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，以的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線為軸，直線為軸建立如圖的右手直角坐標(biāo)系，

則，，，

令，為的三等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，有

，,所以，，

設(shè)平面的法向量為，有，即

所以，.因?yàn)?sub>，，，相鄰平面之間的距離為1，所以點(diǎn)到平面的距離

，解得

由此可得，邊長(zhǎng)為的正四面體滿足條件.

所以所求正四面體的體積.

解法二：如圖，現(xiàn)將此正四面體置于一個(gè)正方體中，（或者說(shuō)，在正四面體的四個(gè)面外側(cè)各鑲嵌一個(gè)直角正三棱錐，得到一個(gè)正方體），

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

，分別是，的中點(diǎn)，和是兩個(gè)平行平面，若其距離為1，則正四面體即為滿足條件的正四面體.右圖是正方體的上底面，現(xiàn)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，若，則有，

據(jù)，得，

于是正四面體的棱長(zhǎng)，其體積.

（即等于一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體割去四個(gè)直角正三棱錐后的體積）