如圖，在三棱錐P—ABC中，PA=PC，∠APC=∠ACB=90°，∠BAC=30°，且平面PAC⊥平面ABC．

(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；

(2)求二面角P—AB—C的正弦值；

(3)若PA=2，求三棱錐P—ABC的體積．

 

答案：
解析：

(1)證明：∵平面PAC⊥平面ABC，

面PAC∩面ABC=AC．又BC⊥AC，

∴BC⊥平面PAC．又∵BC平面PBC，

∴平面PAC⊥平面PBC．

(2)解：過點(diǎn)P作PD⊥AC于D，則PD⊥平面ABC，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，連結(jié)PE．

∵面PAC⊥面ABC，PD⊥面ABC．

由三垂線定理知PE⊥AB，

∴∠PED為二面角P—AB—C的平面角．

設(shè)PA=PC=a，∵∠APC=90°，

∴PD=a，AC=a，且AD=CD=a．

又∵∠CAB=30°，∴ED=AD=a．

∴tanPDE=PD∶ED=a∶a=2．

∴sinPDE=．

(3)解：若PA=2，由(2)知，PD=，AC=．

又∵∠BAC=30°，∴BC=．

∴Vp-ABC=·S△ABC·PD

=·AC·BC·PD=．

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．設(shè)M是底面ABC內(nèi)一點(diǎn)，定義f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分別是三棱錐M-PAB、三棱錐M-PBC、三棱錐M-PCA的體積．若f（M）=（
1
2
，x，y），且
1
x
+
a
y
≥8恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，則當(dāng)△AEF的面積最大時(shí)，tanθ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分別為AB、AC中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DE‖平面PBC；
（Ⅱ）求證：AB⊥PE；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PA=PB=PC，∠BPA=∠BPC=∠CPA=40°，一繩子從A點(diǎn)繞三棱錐側(cè)面一圈回到點(diǎn)A的最短距離是
3
，則PA=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，AP=AC，點(diǎn)D，E分別在棱
PB，PC上，且BC∥平面ADE
（I）求證：DE⊥平面PAC；
（Ⅱ）當(dāng)二面角A-DE-P為直二面角時(shí)，求多面體ABCED與PAED的體積比．

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