Question

A地產(chǎn)汽油，B地需要汽油．運(yùn)輸工具沿直線AB從A地到B地運(yùn)油，往返A(chǔ)，B一趟所需的油耗等于從A地運(yùn)出總油量的

1

100

．如果在線段AB之間的某地C（不與A，B重合）建一油庫(kù)，則可選擇C作為中轉(zhuǎn)站，即可由這種運(yùn)輸工具先將油從A地運(yùn)到C地，然后再由同樣的運(yùn)輸工具將油從C地運(yùn)到B地．設(shè)

AC

AB

=x，往返A(chǔ)，C一趟所需的油耗等于從A地運(yùn)出總油量的

x

100

．往返C，B一趟所需的油耗等于從C地運(yùn)出總油量的

1-x

100

．不計(jì)裝卸中的損耗，定義：運(yùn)油率P=

B地收到的汽油量

A地運(yùn)出的汽油量

，設(shè)從A地直接運(yùn)油到B地的運(yùn)油率為P₁，從A地經(jīng)過(guò)C中轉(zhuǎn)再運(yùn)油到B地的運(yùn)油率為P₂．
（1）比較P₁，P₂的大小；
（2）當(dāng)C地選在何處時(shí)，運(yùn)油率P₂最大？

Answer 1

分析：（1）設(shè)從A地運(yùn)出的油量為a，根據(jù)題設(shè)，直接運(yùn)油到B地，往返油耗等于

1

100

a，所以B地收到的油量為（1-

1

100

）a．根據(jù)
運(yùn)油率P=

B地收到的汽油量

A地運(yùn)出的汽油量

，可計(jì)算P₁；而從A地運(yùn)出的油量為a時(shí)，C地收到的油量為（1-

x

100

）a，
B地收到的油量（1-

1-x

100

）（1-

x

100

）a，根據(jù)運(yùn)油率P=

B地收到的汽油量

A地運(yùn)出的汽油量

，可計(jì)算P₂．然后兩者作差比較．
（2）由P₂=（

99

100

+

x

100

）（1-

x

100

）利用基本不等式求其最大值．

解答：解：（1）設(shè)從A地運(yùn)出的油量為a，根據(jù)題設(shè)，直接運(yùn)油到B地，往返油耗等于

1

100

a，
所以B地收到的油量為（1-

1

100

）a．
所以運(yùn)油率P₁=

a- 1 100 a

a

=

99

100

．
而從A地運(yùn)出的油量為a時(shí)，C地收到的油量為（1-

x

100

）a，
B地收到的油量（1-

1-x

100

）（1-

x

100

）a，
所以運(yùn)油率P₂=（1-

1-x

100

）（1-

x

100

）=（

99

100

+

x

100

）（1-

x

100

）．
所以P₂-P₁=

1

10000

x（1-x），因?yàn)?＜x＜1，
所以P₂-P₁＞0，即P₂＞P₁．
（2）因?yàn)镻₂=（

99

100

+

x

100

）（1-

x

100

）≤(

99 100 + x 100 +1- x 100

2

)2=(

199

200

)2
當(dāng)且僅當(dāng)

99

100

+

x

100

=1-

x

100

，即x=

1

2

時(shí)，取“=”
所以當(dāng)C地為AB中點(diǎn)時(shí)，運(yùn)油率P₂有最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的建立與應(yīng)用，涉及了函數(shù)模型的比較，基本不等式求函數(shù)最值．