Question

已知點A（2，0）關(guān)于直線l₁：x+y-4=0的對稱點為A₁，圓C：（x-m）²+（y-n）²=4（n＞0）經(jīng)過點A和A₁，且與過點B（0，-2

2

）的直線l₂相切．
（1）求圓C的方程；（2）求直線l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）由點A和A₁均在圓C上且關(guān)于直線l₁對稱，得到圓心在直線l₁上，由圓的方程找出圓心坐標，代入直線l₁，得到關(guān)于m與n的方程，然后把點A的坐標代入到圓的方程中，得到關(guān)于m與n的另一個方程，聯(lián)立兩方程即可求出m與n的值，確定出圓C的方程；
（2）當直線l₂的斜率存在時，設(shè)出直線l₂的方程，由直線與圓相切時圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，從而確定出直線l₂的方程；當直線l₂的斜率不存在時，x=0顯然滿足題意，綜上，得到所有滿足題意得直線l₂的方程．

解答：解：（1）∵點A和A₁均在圓C上且關(guān)于直線l₁對稱，
∴圓心在直線l₁上，由圓C的方程找出圓心C（m，n），
把圓心坐標直線l₁，點A代入圓C方程得：

m+n=4 (m-2)2+n2=4

，解得

m=2 n=2

或

m=4 n=0

（與n＞0矛盾，舍去），
則圓C的方程為：（x-2）²+（y-2）²=4；
（2）當直線l₂的斜率存在時，
設(shè)直線l₂的方程為y=kx-2

2

，由（1）得到圓心坐標為（2，2），半徑r=2，
根據(jù)題意得：圓心到直線的距離d=

|2k-2-2 2 |

k2+1

=r=2，解得k=1，
所以直線l₂的方程為y=x-2

2

；
當直線l₂的斜率不存在時，
易得另一條切線為x=0，
綜上，直線l₂的方程為y=x-2

2

或x=0．

點評：此題考查了圓的標準方程，以及直線與圓的位置關(guān)系．要求學生會利用待定系數(shù)法求圓的方程，掌握直線與圓相切時滿足的關(guān)系，在求直線l₂的方程時，注意由所求直線的斜率存在還是不存在，利用分類討論的方法得到所有滿足題意得方程．