Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a1=

1

4

，an=

an-1

(-1)nan-1-2

(n≥2，n∈N*)
（1）求證：數(shù)列{

1

an

+(-1)n}（n∈N^*）是等比數(shù)列；
（2）設(shè)cn=ansin

(2n-1)π

2

，數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，求證：對任意的n∈N^*，T_n＜

4

7

．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系得出數(shù)列{

1

an

+(-1)n}的相鄰兩項的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，要確定出相鄰兩項的比是常數(shù)，注意整體構(gòu)造的思想；
（2）首先確定出數(shù)列{c_n}的通項公式，利用放縮的思想將數(shù)列的每一項進行放縮，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和問題達到證明不等式的目的．

解答：證明：（1）∵

1

an

=(-1)n-

2

an-1

，∴

1

an

+(-1)n=(-2)[

1

an-1

+(-1)n-1]，
又∵

1

an

+(-1)=3≠0，所以數(shù)列{

1

an

+(-1)n}（n∈N^*）是以3為首項，-2為公比的等比數(shù)列．

（2）由（1）知an=

(-1)n-1

3•2n-1+1

，sin

(2n-1)

2

=(-1)n-1，∴cn=

1

3•2n-1+1

，當(dāng)n≥3時，則
Tn=

1

3+1

+

1

3•2+1

+

1

3•22+1

+…+

1

3•2n-1+1

＜

1

4

+

1

7

+

1

3•22

+

1

3•23

+…+

1

3•2n-1

=

11

28

+

1 12 [1-( 1 2 )n-2]

1- 1 2

=

11

28

+

1

6

[1-(

1

2

)n-2]＜

11

28

+

1

6

=

47

84

＜

48

84

=

4

7

．
又∵T₁＜T₂＜T₃，∴對任意的n∈N^*，T_n＜

4

7

．

點評：本題考查數(shù)列的遞推公式確定數(shù)列的思想，根據(jù)遞推公式確定出數(shù)列是否滿足特殊數(shù)列的定義，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想．第（2）問考查學(xué)生的不等式放縮的技巧與方法，關(guān)鍵要將數(shù)列{c_n}的每一項進行放縮轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列從而達到求和證明的目的．