Question

4．圓C的圓心在直線y=3x上，且圓C與x軸相切，若圓C截直線y=x得弦長為2$\sqrt{7}$，求圓C的標準方程．

Answer 1

分析 設出圓的方程，利用已知條件，推出2r²=（a-b）²+14①，r²=b²②，3a-b=0③解出a，b，r即可得到圓的方程．

解答 解：設所求的圓的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，
則圓心（a，b）到直線x-y=0的距離為$\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$，∴${r}^{2}=（\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}）^{2}+（\sqrt{7}）^{2}$
即2r²=（a-b）²+14①（2分）
由于所求的圓與x軸相切，∴r²=b²②（4分）
又圓心在直線3x-y=0上，∴3a-b=0③（6分）
聯(lián)立①②③，解得a=1，b=3，r²=9或a=-1，b=3，r²=9（10分）
故所求的圓的方程是：（x-1）²+（y-3）²=9或（x+1）²+（y+3）²=9（12分）

點評 本題是基礎題，考查圓的方程的求法，標準方程的應用，靈活設出圓的方程是關鍵，考查計算能力．