Question

（2012•奉賢區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f0(x)=(

1

2

)|x|，f1(x)=|f0(x)-

1

2

|，fn(x)=|fn-1(x)-(

1

2

)n|，n≥1，n∈N，則方程fn(x)=(

1

n+2

)n有

2ⁿ⁺¹

個(gè)實(shí)數(shù)根．

Answer 1

分析：利用歸納法思想，先令n=1，可知方程2²=4個(gè)根，再考慮當(dāng)n=k+1時(shí)，會(huì)有f_k+1（x）=±[f_k（x）-(

1

2

)k]=(

1

k+1+2

)k+1，依此類(lèi)推，每個(gè)方程去掉絕對(duì)值符號(hào)，都對(duì)應(yīng)兩個(gè)方程，而每個(gè)方程又會(huì)有兩個(gè)根，由此可得結(jié)論．

解答：解：先令n=1，則有：|f₀（x）-

1

2

|=

1

3

，∴(

1

2

)|x|=

5

6

或

1

6

，可知有2²=4個(gè)根；
于是當(dāng)n=k+1時(shí)，會(huì)有f_k+1（x）=±[f_k（x）-(

1

2

)k]=(

1

k+1+2

)k+1，依此類(lèi)推，每個(gè)方程去掉絕對(duì)值符號(hào)，都對(duì)應(yīng)兩個(gè)方程，而每個(gè)方程又會(huì)有兩個(gè)根，從而可以得到有2ⁿ⁺¹個(gè)根．
故答案為：2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的迭代，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．