Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ln(x+1)－x．

⑴求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵若，證明：．

Answer 1

【答案】⑴（0，＋∞）；⑵證明見(jiàn)詳解

【解析】

第一問(wèn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，第二問(wèn)是函數(shù)類(lèi)不等式的證明，這類(lèi)問(wèn)題常常以導(dǎo)數(shù)為工具，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決．

解：解：（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>．＝－1＝－．由<0及x>－1，得x>0．∴ 當(dāng)x∈（0，＋∞）時(shí)，f(x)是減函數(shù)，即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，＋∞）．

（2）證明：由⑴知，當(dāng)x∈（－1，0）時(shí)，＞0，當(dāng)x∈（0，＋∞）時(shí)，＜0，

因此，當(dāng)時(shí)，≤，即≤0∴．

令，則＝．

∴ 當(dāng)x∈（－1，0）時(shí)，＜0，當(dāng)x∈（0，＋∞）時(shí)，＞0．

∴ 當(dāng)時(shí)，≥，即≥0，∴．

綜上可知，當(dāng)時(shí)，有．