【題目】在平面直角坐標系中,點,分別為橢圓C:的左右焦點,橢圓的離心率為,點在橢圓C上,不在軸上的動點P與動點Q關于原點O對稱,且四邊形的周長為.
(1)求動點P的軌跡方程;
(2)在動點P的軌跡上有兩個不同的點M,N,線段MN的中點為G,已知點在圓上,求的最大值,并判斷此時ΔOMN的形狀.
【答案】(1);(2)最大值為,ΔOMN是直角三角形
【解析】
(1)題中先求得的坐標,即,可利用離心率和點在橢圓上 結合解得,動點P與動點Q關于原點O對稱,且四邊形的周長為.可得點軌跡是橢圓,且長軸長已知,焦距已知,只要再求得短半軸長即得,注意方程中;
(2)由用點都在橢圓上可求得,用兩點間距離公式表示出,代入和,并利用基本不等式可求得最大值.根據(jù)取得最大值時的條件得是直角三角形.
(1)設點,的坐標分別為,
由已知可知,又,所以可得,則,
連接PQ,因為,OP=OQ,所以四邊形為平行四邊形.
因為四邊形的周長為,所以,
所以動點P的軌跡是以點,分別為左、右焦點,長軸長為的橢圓(除去左、右頂點),可得動點P的軌跡方程為
(2)因為,,,所以,
所以
.
當且僅當,即時,等號成立,
所以的最大值為,此時,即,即是直角三角形.
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【題目】2019年某開發(fā)區(qū)一家汽車生產(chǎn)企業(yè)計劃引進一批新能源汽車制造設備,通過市場分析,全年需投入固定成本3000萬元,每生產(chǎn)x(百輛),需另投入成本萬元,且,由市場調研知,每輛車售價6萬元,且全年內生產(chǎn)的車輛當年能全部銷售完.
(1)求出2019年的利潤(萬元)關于年產(chǎn)量x(百輛)的函數(shù)關系式;(利潤=銷售額成本)
(2)2019年產(chǎn)量為多少(百輛)時,企業(yè)所獲利潤最大?并求出最大利潤.
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【題目】四邊形中,,且,為中點,連接,如圖(1),將其沿折起使得平面平面,平面平面,連接,如圖(2).
(1)證明:圖(2)中的四點共面;
(2)求圖(2)中平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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【題目】第28屆金雞百花電影節(jié)將于11月19日至23日在福建省廈門市舉辦,近日首批影展片單揭曉,《南方車站的聚會》《春江水暖》《第一次的離別》《春潮》《抵達之謎》五部優(yōu)秀作品將在電影節(jié)進行展映.若從這五部作品中隨機選擇兩部放在展映的前兩位,則《春潮》與《抵達之謎》至少有一部被選中的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】江心洲有一塊如圖所示的江邊,,為岸邊,岸邊形成角,現(xiàn)擬在此江邊用圍網(wǎng)建一個江水養(yǎng)殖場,有兩個方案:方案l:在岸邊上取兩點,用長度為的圍網(wǎng)依托岸邊線圍成三角形(,兩邊為圍網(wǎng));方案2:在岸邊,上分別取點,用長度為的圍網(wǎng)依托岸邊圍成三角形.請分別計算,面積的最大值,并比較哪個方案好.
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【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)=|x﹣m|+|x|,m∈N*,存在實數(shù)x使f(x)<2成立.
(1)求實數(shù)m的值;
(2)若α≥1,β≥1,f(α)+f(β)=4,求證:≥3.
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【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面ABCD,,,,點E在BC上,.
(1)求證:平面平面PAC;
(2)若直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為,求二面角的余弦值.
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【題目】2019年2月13日《煙臺市全民閱讀促進條例》全文發(fā)布,旨在保障全民閱讀權利,培養(yǎng)全民閱讀習慣,提高全民閱讀能力,推動文明城市和文化強市建設.某高校為了解條例發(fā)布以來全校學生的閱讀情況,隨機調查了200名學生每周閱讀時間(單位:小時)并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這200名學生每周閱讀時間的樣本平均數(shù)和中位數(shù)(的值精確到0.01);
(2)為查找影響學生閱讀時間的因素,學校團委決定從每周閱讀時間為,的學生中抽取9名參加座談會.
(i)你認為9個名額應該怎么分配?并說明理由;
(ii)座談中發(fā)現(xiàn)9名學生中理工類專業(yè)的較多.請根據(jù)200名學生的調研數(shù)據(jù),填寫下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為學生閱讀時間不足(每周閱讀時間不足8.5小時)與“是否理工類專業(yè)”有關?
閱讀時間不足8.5小時 | 閱讀時間超過8.5小時 | |
理工類專業(yè) | 40 | 60 |
非理工類專業(yè) |
附:().
臨界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
<> | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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