Question

15．定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），當x∈（0，1）時，f（x）=cos（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{2}$），則函數y=f（x）-log₄|x|的零點個數是（　�。�

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 f（x）是個周期為2的周期函數，且是個奇函數，在一個周期（-1，1）上，y=-sin$\frac{π}{2}$x，-1＜f（x）＜1，同理得到在其他周期上的圖象；y=log₄|x|是個偶函數，圖象過（1，0），和（4，1），結合圖象可得函數y=f（x）的圖象與函數y=log₄|x|的圖象的交點個數，從而得到函數零點個數．

解答 解：由題意知，函數y=f（x）是個周期為2的周期函數，且是個奇函數，在一個周期（-1，1）上，y=-sin$\frac{π}{2}$x，-1＜f（x）＜1，同理得到在其他周期上的圖象．
函數y=log₄|x|是個偶函數，先看他們在[0，+∞）上的交點個數，則它們總的交點個數是在[0，+∞）上的交點個數的2倍，在（0，+∞）上，y=log₄|x|=log₄x，圖象過（1，0），和（4，1），是單調增函數，與f（x）交與3個不同點，∴函數y=f（x）的圖象與函數y=log₄|x|的圖象的交點個數是6個．
故選C．

點評 本題本題考查函數的周期性、奇偶性、函數圖象的對稱性，體現數形結合的數學思想．考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，其中根據已知條件分析函數的性質，進而判斷出函數零點的分布情況是解答本題的關鍵．