Question

如圖菱形ABEF所在平面與直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，,點(diǎn)H、G分別是線段EF、BC的中點(diǎn).

（1）求證：平面AHC平面;（2）點(diǎn)M在直線EF上，且平面，求平面ACH與平面ACM所成銳角的余弦值.

 

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）平面ACH與平面ACM所成銳角的余弦值為.

【解析】

試題分析：（1）要證面面垂直，首先證線面垂直.那么在本題中證哪條線垂直哪個(gè)面？結(jié)合條件可得，，所以面AHC，從而平面AHC平面BCE.（2）因?yàn)锳D、AB、AH兩兩互相垂直，故分別以AD、AB、AH所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量即可求解.

（1）在菱形ABEF中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111407043200118802/SYS201411140704345794149145_DA/SYS201411140704345794149145_DA.009.png">，所以是等邊三角形，又因?yàn)镠是線段EF的中點(diǎn)，所以

因?yàn)槊鍭BEF面ABCD，且面ABEF面ABCD=AB，

所以AH面ABCD，所以

在直角梯形中，AB=2AD=2CD=4，，得到，從而，所以，又AHAC=A

所以面AHC，又面BCE，所以平面AHC平面BCE .6分

（2）分別以AD、AB、AH所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有

設(shè)點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)，使得，代入解得

由（1）知平面AHC的法向量是

設(shè)平面ACM的法向量是，則得

所以

即平面ACH與平面ACM所成銳角的余弦值為. 12分

考點(diǎn)：(1)空間直線與平面的關(guān)系；（2）二面角.