Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R，求：
（1）函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值的自變量x的集合；
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）法一：利用二倍角公式，兩角和的正弦函數(shù)，化簡(jiǎn)函數(shù)為2+

2

sin(2x+

π

4

)，然后求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值的自變量x的集合；
法二：利用平方關(guān)系，兩角和的正弦函數(shù)，化簡(jiǎn)函數(shù)為2+

2

sin(2x+

π

4

)，然后求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值的自變量x的集合；
（2）通過(guò)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，直接求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（1）解法一：∵f(x)=

1-cos2x

2

+sin2x+

3(1+cos2x)

2

=2+sin2x+cos2x=2+

2

sin(2x+

π

4

)（4分）
∴當(dāng)2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

8

(k∈Z)時(shí)，f（x）取得最大值2+

2

．
因此，f（x）取得最大值的自變量x的集合是{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}． （8分）

解法二：∵f（x）=（sin²x+cos²x）+sin2x+2cos²x=1+sin2x+1+cos2x=2+

2

sin(2x+

π

4

)（4分）
∴當(dāng)2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

8

(k∈Z)時(shí)，f（x）取得最大值2+

2

．
因此，f（x）取得最大值的自變量x的集合是{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}（8分）

（2）解：f(x)=2+

2

sin(2x+

π

4

)
由題意得2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，即kπ-

3

8

π≤x≤kπ+

π

8

(k∈Z)．
因此，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

](k∈Z)． （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值，正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，考查計(jì)算能力，基本知識(shí)掌握的熟練程度，高考�？碱}型．