Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-

b

x

，曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．則曲線y=f（x）上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：已知曲線上的點(diǎn)，并且知道過(guò)此點(diǎn)的切線方程，容易求出斜率，又知點(diǎn)（2，f（2））在曲線上，利用方程聯(lián)立解出a，b；可以設(shè)P（x₀，y₀）為曲線上任一點(diǎn)，得到切線方程，再利用切線方程分別與直線x=0和直線y=x聯(lián)立，得到交點(diǎn)坐標(biāo)，接著利用三角形面積公式即可．

解答： 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ax-

b

x

，曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．所以f′（x）|_x=2=a+

b

x2

|_x=2=

7

4

，所以

a+ b 4 = 7 4 2a- b 2 = 1 2

，解得

a=1 b=3

，故f（x）=x-

3

x

．

設(shè)P（x₀，y₀）為曲線上任一點(diǎn)，由y′=1+

3

x2

知
曲線在點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線方程為y-y₀=（1+

3

x02

）（x-x₀），
令x=0，得y=-

6

x0

，從而得切線與直線x=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

6

x0

）；
令y=x，得y=x=2x₀，從而得切線與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2x₀，2x₀）；
所以點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為

1

2

|-

6

x0

||2x₀|=6．
故曲線y=f（x）上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)及直線方程、三角形面積的相關(guān)知識(shí)，運(yùn)算量較大，屬于中檔題