Question

如圖，等邊三角形OAB的邊長為，且其三個頂點均在拋物線E：x²=2py（p＞0）上．
（1）求拋物線E的方程；
（2）設(shè)動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y=-1相較于點Q．證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，|OB|=8，∠BOy=30°，從而可得B（4，12），利用B在x²=2py（p＞0）上，可求拋物線E的方程；
（2）由（1）知，，，設(shè)P（x，y），可得l：，與y=-1聯(lián)立，求得取x=2，x=1，猜想滿足條件的點M存在，再進行證明即可．
解答：解：（1）依題意，|OB|=8，∠BOy=30°，
設(shè)B（x，y），則x=|OB|sin30°=4，y=|OB|cos30°=12
∵B（4，12）在x²=2py（p＞0）上，∴
∴p=2，
∴拋物線E的方程為x²=4y；
（2）由（1）知，，
設(shè)P（x，y），則x≠0．l：即
由得，∴
取x=2，此時P（2，1），Q（0，-1），以PQ為直徑的圓為（x-1）²+y²=2，交y軸于點M₁（0，1）或M₂（0，-1）
取x=1，此時P（1，），Q（-，-1），以PQ為直徑的圓為（x+）²+（y+）²=2，交y軸于點M₃（0，1）或M₄（0，-）
故若滿足條件的點M存在，只能是M（0，1），證明如下
∵
∴=2y-2-2y+2=0
故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M（0，1）．
點評：本題主要考查拋物線的定義域性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查運算能力，考查化歸思想，屬于中檔題．