Question

如圖：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC的中點，E是線段D₁O上一點，且．
（Ⅰ）求證：DB₁⊥平面CD₁O；
（Ⅱ）若平面CDE⊥平面CD₁O，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)正方體棱長為1，以DA，DC，DD₁為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出D、B₁、O、C、D₁的坐標(biāo)，從而得到向量和的坐標(biāo)，通過計算得到與、與的數(shù)量積均為零，得到DB₁與CD₁、OC都垂直，結(jié)合線面垂直的判定定理，可證出DB₁⊥平面CD₁O；
（II）設(shè)平面CDE的法向量為，利用垂直的兩個向量數(shù)量積為零的方法列出方程組，取x=-2，得z=λ，得，結(jié)合平面CDE的法向量為，所以，可得到λ的值．
解答：解：（Ⅰ）不妨設(shè)正方體的棱長為1，以DA，DC，DD₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則可得
于是：
∵，
∴DB₁⊥CD₁，DB₁⊥OC，
∵CD₁，OC為平面CD₁O內(nèi)兩條相交直線，
∴DB₁⊥平面CD₁O
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面CD₁O的法向量取
∵，∴
又設(shè)平面CDE的法向量為，
由
得，
取x=-2，得z=λ，即
∵平面CDE⊥平面CD₁O，
∴，即1×（-2）+1×0+1×λ=0，可得λ=2
點評：本題在正方體中研究線面垂直和面面垂直的問題，著重考查了平面與平面垂直的性質(zhì)、直線與平面垂直的判定和利用空間坐標(biāo)系研究空間的垂直問題等知識點，屬于基礎(chǔ)題．