Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=log3 ，g（x）=﹣2ax+a+1，h（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）當(dāng)a=﹣1時(shí)，證明h（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=log3g（x）有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：當(dāng)a=﹣1時(shí)，
f（x）=log3 ，g（x）=2x，
h（x）=log3 +2x，
定義域?yàn)椋ī仭�，�?）∪（1，+∞），
又∵h(yuǎn)（﹣x）=log3 ﹣2x，
∴h（x）+h（﹣x）=log3 +log3 +2x﹣2x=0，
故h（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）∵f（x）=log3g（x），
∴ =﹣2ax+a+1，且x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
∴（1﹣2x）a= ﹣1=﹣ ，
顯然a≠0，
∴ =（x+1）（x﹣ ），
利用圖象可知，當(dāng) ＞1時(shí)，
方程 =（x+1）（x﹣ ）在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
解得0＜a＜1．

【解析】（Ⅰ）當(dāng)a=﹣1時(shí)，化簡h（x）=log3 +2x，并求其定義域?yàn)椋ī仭�，�?）∪（1，+∞），再判斷h（x）+h（﹣x）=0即可；（Ⅱ）化簡可得 =﹣2ax+a+1，且x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），從而可得 =（x+1）（x﹣ ），從而解得．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的零點(diǎn)，掌握偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．即：方程有實(shí)數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，函數(shù)有零點(diǎn)即可以解答此題．