Question

如圖，為半圓，為半圓直徑，為半圓圓心，且，為線段的中點(diǎn)，已知，曲線過點(diǎn)，動點(diǎn)在曲線上運(yùn)動且保持的值不變.

(I)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線的方程；

(II)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，與所在直線交于點(diǎn)，，證明：為定值.

 

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092600083868455369/SYS201309260010051019573427_DA.files/image004.png">的值不變，所以會想到橢圓的定義，根據(jù)橢圓的定義，需要知道的值，易知，故橢圓的基本量就能很快求出，從而求出最終橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）圓錐曲線與向量的綜合，最好使用點(diǎn)的坐標(biāo)表示，可以根據(jù)題意設(shè)出的坐標(biāo)，利用，的關(guān)系，反求出（含）的坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得到，，可見是方程的兩個根，故.還可以利用聯(lián)立方程組的方法，但稍微復(fù)雜一點(diǎn)，具體過程見解答.

試題解析：（1）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

因?yàn)閯狱c(diǎn)在曲線上運(yùn)動且保持的值不變，而點(diǎn)也在曲線上，

所以，滿足橢圓的定義，

故曲線是以原點(diǎn)為中心，為焦點(diǎn)的橢圓.

則，，

所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）

解法一：設(shè)而不求法

設(shè)的坐標(biāo)分別為，則

，

帶入到得

化簡，得

同理由，得

是方程的兩個根

解法二：聯(lián)立方程組法

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

易知點(diǎn)的坐標(biāo)為．且點(diǎn)B在橢圓C內(nèi),故過點(diǎn)B的直線l必與橢圓C相交．

顯然直線  的斜率存在，設(shè)直線 的斜率為 ，則直線  的方程是

將直線  的方程代入到橢圓  的方程中，消去  并整理得

．

∴ ，

又 ∵， 則．∴，

同理，由，∴

∴ .

考點(diǎn)：1.圓錐曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程的求解；2.向量與圓錐曲線的綜合性問題.