Question

PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，它對(duì)空氣質(zhì)量和能見度等有重要的影響．我國(guó)從PM2.5的含量對(duì)空氣質(zhì)量評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)如表1所示．某市環(huán)保部門從2012年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如莖葉圖如圖所示．
（Ⅰ）從這15天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù)，記表示其中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）以這15天的PM2.5日均值來估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況，則一年（按360天計(jì)算）中大約有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)．

我國(guó)空氣質(zhì)量表
PM2.5均值范圍 （微克/立方米）	空氣質(zhì)量級(jí)別
（1，35]	Ⅰ
（35，75]	Ⅱ
大于75	超標(biāo)

Answer 1

分析：（I）依據(jù)條件，設(shè)“達(dá)到I級(jí)”為事件A，這15天中的有5天達(dá)到I級(jí)，因此P（A）=

5

15

=

1

3

，ξ的可能值為0，1，2，3．利用“超幾何分布”即可得出分布列，再利用數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式即可得出；
（II）利用（I）可得一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率P=

1

3

，進(jìn)而得到一年中達(dá)到I級(jí)的天數(shù)．

解答：解：（I）依據(jù)條件，設(shè)“達(dá)到I級(jí)”為事件A，這15天中的有5天達(dá)到I級(jí)，因此P（A）=

5

15

=

1

3

，ξ的可能值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 3 10

C 3 15

=

24

91

；當(dāng)ξ=1時(shí)，P（ξ=1）=

C 1 5 C 2 10

C 3 15

=

45

91

；
P（ξ=2）=

C 2 5 C 1 10

C 3 15

=

20

91

；
P（ξ=3）=

C 3 5

C 3 15

=

2

91

．
所以其分布列為：

ξ	0	1	2	3
P（ξ）	24 91	45 91	20 91	2 91

數(shù)學(xué)期望為：Eξ=1×

45

91

+2×

20

91

+3×

2

91

=1．
（Ⅱ）依（I）可知，一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率P=

1

3

，
一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)為360×

1

3

=120，
所以一年中平均有120天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“超幾何分布”的分布列及其數(shù)學(xué)期望、用概率估計(jì)一件事情等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，屬于基礎(chǔ)題．