Question

（2011•重慶三模）已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率e=

2 3

3

，其一條準線方程為x=

3

2

．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）如題20圖：設雙曲線C的左右焦點分別為A，B，點D為該雙曲線右支上一點，直線AD與其左支交于點E，若

AE

=λ

ED

，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意可得，

c a = 2 3 3 a2 c = 3 2

可求a，c，由b²=c²-a²可求b，可求雙曲線的方程
（II）由（I）知A（-2，0），設D（x₀，y₀），E（x₁，y₁）則由

AE

=λ

ED

可得x1=

λx0-2

1+λ

，y1=

λy0

1+λ

，結(jié)合E，D在雙曲線上，可求x₀，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)可求λ

解答：解（I）由題意可得，

c a = 2 3 3 a2 c = 3 2

∴

a= 3 c=2

∴雙曲線的方程為

x2

3

-y2=1（4分）
（II）由（I）知A（-2，0），設D（x₀，y₀），E（x₁，y₁）
∴

AE

=(x1+2，y1)，

ED

=(x0-x1，y0-y1)
則由

AE

=λ

ED

可得x1=

λx0-2

1+λ

，y1=

λy0

1+λ

∵E在雙曲線上
∴

x12

3

-y12=1
∴(-2+λx0)2-3(λy0)2=3(1+λ)2
∵D在雙曲線
∴3y02=x02-3
代入上式可得，x0=

1-6λ

4λ

∵x0≥

3

=a
∴

1-6λ

4λ

≥

3

∴λ≤

1

6+4 3

=

3

3

-

1

2

∵D在雙曲線的左支，點D在右支
∴0＜λ≤

3

3

-

1

2

（12分）

點評：本題主要考查了利用雙曲線的性質(zhì)求解雙曲線的方程，雙曲線的性質(zhì)的應用，屬于綜合試題