Question

已知C₁的極坐標方程為ρcos(θ-

π

4

)=1，M，N分別為C₁在直角坐標系中與x軸，y軸的交點．曲線C₂的參數(shù)方程為

x= t - 1 t y=4-(t+ 1 t )

（t為參數(shù)，且t＞0），P為M，N的中點．
（1）將C₁，C₂化為普通方程；
（2）求直線OP（O為坐標原點）被曲線C₂所截得弦長．

Answer 1

（1）C₁的極坐標方程為ρcos(θ-

π

4

)=1，即

2

2

ρ（cosθ+sinθ）=1，
∴C₁化為普通方程是：C1：x+y-

2

=0；
曲線C₂的參數(shù)方程為

x= t - 1 t y=4-(t+ 1 t )

消去參數(shù)t 得：C₂普通方程：y=-x²+2，（4分）．
（2）因為M(

2

，0)，N(0，

2

)∴P(

2

2

，

2

2

)所以直線OP：y=x．（6分）
設直線OP：y=x與C₂：y=-x²+2交于A，B兩點
直線OP：y=x與C₂：y=-x²+2聯(lián)立得：x²+x-2=0，（8分）
∴A（1，1），B（-2，-2），所以|AB|=3

2

．（10分）