Question

14．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線x-$\sqrt{3}$y=2相切．
（1）求圓O的方程；
（2）設(shè)M（-2，0），N（2，0），過N的動(dòng)直線l交圓O于A，B兩點(diǎn)，求△AMB面積最大時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用以O(shè)為圓心的圓與直線x-$\sqrt{3}$y=2相切，求出圓的半徑，即可求圓O的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則△AMB面積=$\frac{1}{2}•4$|y₁-y₂|=2|y₁-y₂|，求出|y₁-y₂|²_max，即可求△AMB面積最大時(shí)直線l的方程．

解答 解：（1）圓心到直線的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+3}}$=1，
∵以O(shè)為圓心的圓與直線x-$\sqrt{3}$y=2相切，
∴圓O的方程為x²+y²=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則△AMB面積=$\frac{1}{2}•4$|y₁-y₂|=2|y₁-y₂|．
設(shè)過N的動(dòng)直線l的方程為x=my+2，圓心到直線的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}＜1$，∴1+m²＞4
x=my+2代入圓的方程可得（1+m²）y²+4my+3=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{4m}{1+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{3}{1+{m}^{2}}$，
∴|y₁-y₂|²=（-$\frac{4m}{1+{m}^{2}}$）²-$\frac{12}{1+{m}^{2}}$=$\frac{4{m}^{2}-12}{（1+{m}^{2}）^{2}}$
令1+m²=t（t＞4），∴|y₁-y₂|²=$\frac{4t-16}{{t}^{2}}$=-16（$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{8}$）²+$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{t}$=$\frac{1}{8}$，即t=8時(shí)，|y₁-y₂|²_max=$\frac{1}{4}$，
∴△AMB面積最大為1，此時(shí)m=±$\sqrt{7}$，直線l的方程為x=±$\sqrt{7}$+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．