Question

設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn).

（Ⅰ）若橢圓上的點(diǎn)A（1，）到點(diǎn)F₁、F₂的距離之和等于4，求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)是（Ⅰ）中所得橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）=1

（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由橢圓上的點(diǎn)A到點(diǎn)F₁、F₂的距離之和是4，可得2a = 4，即a=2.                                              -------2分

又點(diǎn)A（1，）在橢圓上，因此=1，解得b²=3，于是c²=1.  -------4分

所以橢圓C的方程為=1.                                     ----6分

（Ⅱ）設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁），點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）.

由（Ⅰ）知，點(diǎn)F₁的坐標(biāo)為                            -----8分

則， 即x₁=2x+1 y₁=2y.                      ----10分

因此=1，即為所求的軌跡方程     -----12分